注：一些课本上存在的，比较基础的知识点（如坐标变换的换算公式）将不会给出详细推导过程，请先确保了解基础知识后再进行阅读。

(相关资料图)

课本上出现的规则曲线（曲面）一般是位于原点，形式比较简洁，图像比较对称的样子。

如椭圆，双曲线，抛物线，椭圆抛物面，双曲抛物面，单双叶双曲线等；其一般都是存在一元二次项，二元二次项，一元一次项，常数项中的两种甚至是一种，不会出现同时有上述四种存在的情况。

但是，同时存在以上项的方程，其在坐标系中依然表示二次曲线，即所有二次曲线（曲面）的一般形式为：

既然其表达的也是二次曲线，但是却与我们见到的方程略有差异，本质原因是多了二元二次项，一元一次项这两个陌生的单项式；当我们用软件画出具有二元二次项或一元一次项的曲面时，会发现具有这样的特点：二元二次式的添加仅使曲面绕中心旋转，一元一次式的添加仅使曲面平移。

据此，我们便可以通过再次移动曲面或者坐标系的方式，使其回归标准方程形式以便使用；由于直接旋转曲线的方式在直观上需要对方程进行相应变换，相对来说较为复杂，这里只讨论通过移动坐标系的方法使其回归标准方程。

一：旋转坐标系，消去二元二次项

在二元二次项中，不同的坐标组合即记录了该曲面在当前组合的坐标面上（如xy项对应xOy面，yz项对应yOz面）的旋转情况；为了方便计算，我们先选择一条轴作为旋转轴，然后绕着该轴在与其垂直的平面上旋转与其垂直的坐标面（如以z为轴，在xOy面上旋转x轴和y轴，此处只考虑x和y仍然正交的状态，不考虑斜交），对于具有多个二元二次项的方程，可以旋转多次以消去。

假设我们要消去xy项，那么以z轴为旋转轴，把x和y同时旋转α度，则旋转后的坐标系x‘y’z‘与原坐标系xyz满足如下方程组：

该方程组的推导过程在课本中均有涉及，大家可以根据所学知识自己推导，这里不过多阐述。将此方程组带入曲面方程，目的是将方程中的旧坐标替换成新坐标以完成坐标系的变换，即：

可以看出，在方程中仅有旋转角度α未知，因此我们只需要找到合适的α使曲面方程在新坐标系中使得xy项的系数为0即可。

现在我们不需要关注这个冗长的方程的全部，只需要观察一下，找出其中二元二次项x‘y’的单项式即可，其中包括：

以a为系数展开的

以b为系数展开的

以c为系数展开的

此处如果感觉有些跳跃可以去原方程展开，总之x‘y'的系数便是以上三个单项式相加：

通过观察可以发现以上三个系数可以通过二倍角公式化简，得：

令系数为0，可以得到一个非常简洁三角的方程，其中只有α为未知数：

先不考虑余弦项为0的情况，两边同时除以余弦项，方程变为：

解得：

由此可知，当α为上述角度时，x’y‘的系数为0，即在新坐标系下该曲面在xOy面上为无旋转的标准形式；特别情况，如果a=b，则分式变为无穷大（c不为0时，c=0时无意义），但是由于正切的特点，易知反正切的值就为90度，此种情况刚好对应余弦项为0的结果。

同样，若存在其他二元二次项，按照此方法依次旋转另外两个面消去即可，而后将解得的新坐标系代入原方程即可得到变换后的方程。

二、平移坐标系，消去一元一次项

在一元一次项中，记录了该曲面在当前坐标的轴上的平移情况，此处提供两种方法来消去，一种是通过配方法直接看出曲面的中心，从而在中心处建立新的坐标系原点；另一种则是根据坐标系平移的定义来解三元一次方程组得到平移量而确定平移后曲面方程。

1.配方法

无二元二次项的曲面方程为：

将三个变量分别配成完全平方，得：

无论是否有变量缺失一次项或者二次项，这都是一个曲面平移后的标准方程，只需要建立以配方后的二项二次式的第二项的相反数为原点，就可以得到最终的标准方程。

2.公式法

根据定义，平移后的坐标系与平移前的坐标系满足如下方程组：

同样将其代入原曲面方程，并且提取一次项，其中包括：

原二次项的展开式

原一次项

相加后，分别令x‘，y’，z‘的系数为0，可得：

最终解得：

其实这就是新坐标系的坐标原点，将其补充到变换后的坐标系，然后将变换后的坐标代入原方程，也可以得到变换后的标准方程。

通常情况下，我们的旋转操作需要分多步进行，因为一次性进行会导致需要解比较复杂的三角方程，不利于计算；而平移操作因为仅仅涉及线性方程组所以可以通过一步进行。多数课本中仅仅给出了变换后的结论，但是并无推导过程，所以此处做一个详细的解释；此方法同样适用于平面坐标系的变换，处理后的标准方程对于我们研究计算来说十分方便，在新坐标系中的图形也可以通过逆变换的方式回到原坐标系。

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